耦合度模型的形式、性质及在地理学中的若干误用

丛晓男

doi:10.15957/j.cnki.jjdl.2019.04.003

经济地理 >

2019 , Vol. 39 >Issue 4: 18 - 25

DOI: https://doi.org/10.15957/j.cnki.jjdl.2019.04.003

区域经济理论与方法

耦合度模型的形式、性质及在地理学中的若干误用

丛晓男 ^,¹^,²

展开

1.中国社会科学院城市发展与环境研究所，中国北京 100028
2.中国社会科学院城市信息集成与动态模拟实验室，中国北京 100028

丛晓男（1982—），男，山东文登人，博士，副研究员。主要研究方向为区域政策模拟。E-mail：ben-carrie@163.com。

收稿日期: 2018-09-05

修回日期: 2019-01-25

网络出版日期: 2025-04-23

基金资助

中国社会科学院综合集成实验室后期资助(2017年度)

国家社会科学基金青年项目(15CGJ024)

收起

Expression and Mathematical Property of Coupling Model, and Its Misuse in Geographical Science

CONG Xiaonan ^,¹^,²

Expand

1. Institute for Urban and Environmental Studies，Chinese Academy of Social Sciences，Beijing 100028，China
2. Laboratory for Urban Information Integration and Dynamic Modeling，Chinese Academy of Social Sciences，Beijing 100028，China

Received date: 2018-09-05

Revised date: 2019-01-25

Online published: 2025-04-23

Fold

摘要

耦合度模型在区域经济、城市科学、环境政策、科技政策等地理学相关领域获得广泛应用，但对该模型表达形式和性质的讨论却鲜有涉及，且模型应用存在较多错误。文章从耦合度的物理意义出发，给出其两种一般化表达式C₁和C₂，并详细分解其计算过程。研究发现并证明耦合度具有零阶齐次性，且满足C₁，C₂∈[0,1]。当系统个数为2时，C₁和C₂具有相同的表达式，当系统个数大于2个时，C₁≤C₂。鉴于耦合度模型被大量误用且目前这一状况仍无改观，作者结合近年有关文献，对一般化表达错误、不同耦合度模型混淆、耦合度取值范围错误及耦合阶段划分错误等问题给予阐释与纠正。

关键词： 耦合; 协调; 数学性质; 零阶齐次; 系统; 地理学

本文引用格式

丛晓男 . 耦合度模型的形式、性质及在地理学中的若干误用[J]. 经济地理, 2019 , 39(4) : 18 -25 . DOI: 10.15957/j.cnki.jjdl.2019.04.003

Abstract

The Coupling Model had been widely used in many fields related to geography, such as regional economy, urban science, environmental policy and technical policy. However, few studies on the expression and mathematical property of this model were made, and the model was heavily misused. The author presented two different general expressions of Coupling Model named C₁ and C₂, and decomposed their calculation process. The author found and proved that Coupling Model was zero-order homogeneous, and met the property C₁, C₂∈[0,1]. Under the situation of two systems, expression of C₁ was exactly the same as that of C₂, but when the number of systems is greater than 3, C₁≤C₂. In view of the fact that Coupling Model was still widely misused, the author tried to explain and clarify the mistake in general expression, setting value range and the division of coupling stages, and the confusion of different calculation form, according to some papers published in recent years.

Key words： coupling; coordination; mathematical property; zero-order homogeneous; system; geography

耦合度用以刻画多个系统之间相互影响的程度。耦合作用和程度决定系统在达到临界区域时走向何种序与结构，即决定系统由无序走向有序的趋势^[1]。耦合度的概念来源于物理学领域^[2]，后被广泛引入社会科学领域。通过耦合度能够对两个及两个以上社会经济系统的相互作用和影响进行评价，并在此基础上进一步形成“耦合协调”分析方法，用以评判各系统间的协调发展程度。协调度模型的计算需要建立在耦合度模型的基础之上。

耦合度模型是硬科学原理在软科学领域应用的典型。该模型由于意义明确、计算简单，在地理学研究中得到大量应用。截至2017年底，中国知网共检索到篇名含有“耦合协调”字样的论文618篇，其中绝大多数论文是研究两个、三个或四个社会、经济、环境等系统间的耦合协调发展关系。这些研究与地理学科关系密切，尤其集中在经济地理^[3-13]、科技政策^[14-17]、城市科学^[18-21]、环境政策^[22-24]等问题，所载刊物则集中在地理学、管理学、经济学类等期刊。值得注意的是，近年来这一主题的论文发表数量呈快速增长态势，2014年发表量仅为70篇，2015、2016和2017年则分别增至137篇、163篇和248篇。对耦合度研究的广泛开展，不仅推动物理学概念与模型在社会科学领域的深入应用，而且产生一些有益结论，为相关决策提供参考。

然而，对耦合度模型的大量误解和误用现象值得关注。由于简单借鉴耦合度的概念与模型，学界对模型内涵与计算过程尚缺乏深入研究，导致耦合度模型在地理学应用中存在大量疏漏甚至严重错误，一些结论与现实情况迥异，对决策制定产生一定误导。更甚于此，这些疏漏或错误在近年来的相关研究中并未得以有效纠正，一些错误文献至今仍被广泛引用，部分刊登在较高水平学术期刊的文献更是加剧这些错误的扩散，而存有这种问题的文献又相当普遍。因此，有必要对这些问题给予回应。本文目的不在于将耦合度模型应用于一个特定问题的分析，也不在于由此得出一个具体化的对策建议，而是要从理论上探讨耦合度模型的形式与性质，纠正对耦合度模型的误用。

1 耦合度模型的形式、计算分解与性质

1.1 表达形式

在物理学中，“耦合”常用来表示不同系统间的相互作用强度，这是一个宽泛且常见的概念，例如力热耦合、流固耦合、电感耦合等。在大多数情况下，自然科学家并不关心系统间耦合度的测度，而是更加关注解耦并分别求解系统。社会科学家借用物理学中耦合度的概念，并使用表征多系统之间离差公式的方法给出耦合度的测度模型。本文综合分析耦合度模型的一系列公式，发现耦合度模型的表达一般有两种形式，阐述见下。

给定n≥2个系统，用U_i≥0表示系统S_i的评价值（以下或简称系统值），则耦合度一般化的计算公式可表示为式（1）和式（2）：

（1）

C 1 U 1, U 2, ⋯, U n = n × U 1 U 2 ⋯ U n U 1 + U 2 + ⋯ + U n n 1 n

（2）

C 2 U 1, U 2, ⋯, U n = 2 × U 1 U 2 ⋯ U n ∏ i j U i + U j 2 n - 1 1 n

式中：C₁和C₂表示两种耦合度。注意，当任一系统值为0时，耦合度即为0，但当所有系统值均为0时，耦合度无意义。

表1给出当系统个数分别为2、3、4个时C₁和C₂的表达式，在地理学的具体应用中，绝大多数研究的系统数不超过4个。

表1 n=2，3，4时耦合度模型的表达

Tab.1 Expressions of Coupling Model as n=2，3，4

n	C₁	C₂
2	$2 × U 1 ⋅ U 2 U 1 + U 2 2 12$	$2 × U 1 ⋅ U 2 U 1 + U 2 2 12$ 或 $U 1 ⋅ U 2 U 1 + U 2 2 2 12$
3	$3 × U 1 ⋅ U 2 ⋅ U 3 U 1 + U 2 + U 3 3 13$	$2 × U 1 ⋅ U 2 ⋅ U 3 U 1 + U 2 U 1 + U 3 U 2 + U 3 13$
4	$4 × U 1 ⋅ U 2 ⋅ U 3 ⋅ U 4 U 1 + U 2 + U 3 + U 4 4 14$	$2 × U 1 ⋅ U 2 ⋅ U 3 ⋅ U 4 U 1 + U 2 U 1 + U 3 U 1 + U 4 U 2 + U 3 U 2 + U 4 U 3 + U 4 23 14$

1.2 计算分解与对比

式（1）和式（2）是表达耦合度的两种不同形式，在应用中可以采用任一形式进行计算，两者在计算逻辑上能够实现统一，但两者值并不相等。C₁和C₂的计算分解过程如下。

1.2.1 C₁的推导过程

步骤1：集合

U 1, U 2, ⋯, U n

中任意两个不同的系统值的算术平均数为

A U i, U j = U i + U j 2

（i<j），此类算术平均数共有

C n 2 = n n - 1 2

个。

步骤2：对所有的

A U i, U j

（i<j）再求算术平均数，得到式（3）。实际上步骤1和步骤2得到的结果是集合

U 1, U 2, ⋯, U n

中所有系统值的算术平均数，但为了与C₂的分解过程相对比，因此将其分解为上述两个步骤。

（3）

∑ i j U i + U j 2 C n 2 = n - 1 U 1 + U 2 + ⋯ + U n 2 n n - 1 2 = U 1 + U 2 + ⋯ + U n n

步骤3：使用所有系统值的几何平均数除以式（3），即可以得到C₁：

（4）

U 1 U 2 ⋯ U n 1 n U 1 + U 2 + ⋯ + U n n = n × U 1 U 2 ⋯ U n U 1 + U 2 + ⋯ + U n n 1 n = C 1 U 1, U 2, ⋯, U n

1.2.2 C₂的推导过程

步骤1：集合

U 1, U 2, ⋯, U n

中任意两个不同的系统值的算术平均数为

A U i, U j = U i + U j 2

（i<j），此类算术平均数共有

C n 2 = n n - 1 2

个。

步骤2：对所有

A U i, U j

（i<j）求几何平均数，得到式（5）：

（5）

∏ i j U i + U j 2 1 C n 2 = ∏ i j U i + U j 2 2 n n - 1

步骤3：使用所有系统值的几何平均数除以式（5），即可以得到C₂：

（6）

U 1 U 2 ⋯ U n 1 n ∏ i j U i + U j 2 2 n n - 1 = U 1 U 2 ⋯ U n 1 n ∏ i j U i + U j 2 C n 2 2 n n - 1 = 2 × U 1 U 2 ⋯ U n ∏ i j U i + U j 2 n - 1 1 n = C 2 U 1, U 2, ⋯, U n

对比1.2.1节和1.2.2节的推导过程可见，C₁和C₂的计算流程类似且能够在形式上保持统一：C₁和C₂的分子均为集合

U 1, U 2, ⋯, U n

中各系统值的几何平均数

U 1 U 2 ⋯ U n 1 n

，但分母的计算存在差异，C₁的分母是先对所有系统值求算术平均数，然后对所得的

C n 2

个算术平均数再求算术平均数，C₂的分母同样先对所有系统值求算术平均数，但之后对所得的

C n 2

个算术平均数再求几何平均数。实际上，分子

U 1 U 2 ⋯ U n 1 n

也可理解为对任意两个不同的系统先求几何平均数，然后对所求的

C n 2

个几何平均数再求几何平均数，即

U 1 U 2 ⋯ U n 1 n = ∏ i j U i U j 12 1 C n 2

。根据这一计算逻辑，耦合度的意义可以理解为：对两个系统而言，当两系统评价值之和固定时，评价值越接近，其耦合度越大，并通过追求任意两个不同系统之间耦合度的最大，实现所有系统间耦合度的最大。

注意式（2）的乘数2本质上可置于分母里面，表示任意两系统指标值的算术平均数。在很多文献中，乘数2常常被忽略，从表面看是耦合度变成原值的1/2，但本质上是误解耦合度C₂的内涵。

1.3 耦合度模型的数学性质

1.3.1 性质1：耦合度模型具有零阶齐次性

证明过程如下：

将集合

U 1, U 2, ⋯, U n

中各系统值同时乘以系数t，则C₁和C₂分别为：

（7）

C 1 t U 1, t U 2, ⋯, t U n = n × t U 1 ⋅ t U 2 ⋅ … ⋅ t U n t U 1 + t U 2 + ⋯ + t U n n 1 n = t 0 n × U 1 U 2 ⋯ U n U 1 + U 2 + ⋯ + U n n 1 n = t 0 C 1 U 1, U 2, ⋯, U n

（8）

C 2 t U 1, t U 2, ⋯, t U n = 2 × t U 1 ⋅ t U 2 ⋅ … ⋅ t U n ∏ i j t U i + t U j 2 n - 1 1 n = 2 × t n t 2 n - 1 n n - 1 2 × U 1 U 2 ⋯ U n ∏ i j U i + U j 2 n - 1 1 n = t 0 2 × U 1 U 2 ⋯ U n ∏ i j U i + U j 2 n - 1 1 n = t 0 C 2 U 1, U 2, ⋯, U n

由式（7）和式（8）分别可知，C₁和C₂具有零阶齐次性。性质1表明C₁和C₂具有无量纲性，且当各系统评价值同时扩大相同倍数时，耦合度不变。在实际应用中，评价值需采用标准化处理之后的数值，否则评价值无法相加。

1.3.2 性质2：当n=2时，0≤C₁=C₂≤1；当n>2时，0≤C₁≤C₂≤1。

证明过程如下：

（9）

C 1 U 1, U 2, ⋯, U n = n × U 1 U 2 ⋯ U n U 1 + U 2 + ⋯ + U n n 1 n = U 1 U 2 ⋯ U n 1 n U 1 + U 2 + ⋯ + U n n

由于算术平均数不小于几何平均数，即

∑ i = 1 n U i n ≥ ∏ i = 1 n U i 1 n

，式（9）等号右侧的分子和分母部分分别为所有系统值的几何平均数和算术平均数，因此必有0≤C₁≤1，且当

U 1 = U 2 = ⋯ = U n

时，C₁取得最大值1，此时为“全耦合”状态。

同样，由式（2）的推导过程，以及

U i + U j 2 ≥ U i U j 12

，可知：

（10）

C 2 U 1, U 2, ⋯, U n = U 1 U 2 ⋯ U n 1 n ∏ i j U i + U j 2 2 n n - 1 ≤ U 1 U 2 ⋯ U n 1 n U 1 U 2 ⋯ U n n - 1 2 2 n n - 1 = 1

因此必有0≤C₂≤1，且当

U 1 = U 2 = ⋯ = U n

时，C₂取得最大值1，此时为“全耦合”状态。

C₁和C₂之比为：

（11）

C 1 U 1, U 2, ⋯, U n C 2 U 1, U 2, ⋯, U n = n × U 1 U 2 ⋯ U n U 1 + U 2 + ⋯ + U n n 1 n 2 × U 1 U 2 ⋯ U n ∏ i j U i + U j 2 n - 1 1 n = ∏ i j U i + U j 2 2 n n - 1 U 1 + U 2 + ⋯ + U n n

当n=2时，有：

（12）

C 1 U 1, U 2, ⋯, U n C 2 U 1, U 2, ⋯, U n = U 1 + U 2 2 U 1 + U 2 2 = 1

实际上，当n=2时，C₁和C₂具有相同的表达式，即两系统的几何平均数与算术平均数之比（表1），由于在社会经济系统中研究两系统之间的耦合协调关系的情况为多，因此该形式成为最为常见的耦合度计算公式。

当n>2时，由于

U 1 + U 2 + ⋯ + U n n = ∑ i j U i + U j 2 n n - 1 2

，则有：

（13）

C 1 U 1, U 2, ⋯, U n C 2 U 1, U 2, ⋯, U n = ∏ i j U i + U j 2 2 n n - 1 ∑ i j U i + U j 2 n n - 1 2 = ∏ i j U i + U j 2 1 C n 2 ∑ i j U i + U j 2 C n 2 ≤ 1

C n 2

为求和符号和求积符号中元素的个数，因此式（13）最后一个等号右侧表达式的分子和分母分别为所有

U i + U j 2

（i<j）组合的几何平均数和算术平均数，因此必有C₁≤C₂。

综上，当n=2时，C₁与C₂具有相同的表达形式；当n>2时，0≤C₁≤C₂≤1。当各系统值越接近时，耦合度C₁和C₂就越大，当

U 1 = U 2 = ⋯ = U n

时，C₁和C₂达到最大值1。当n≥3时，由于两种耦合度计算方法存在一定差异，导致实际应用中所求耦合度也不一样，这就要求在对耦合度分段赋予经济意义时给予特别注意，不存在统一的分段标准及经济意义，而是要根据所分析的具体问题和所采用的耦合度计算方法进行分段并阐释意义。某些研究会采用C₁^k或C₂^k（k>0）来代替耦合度C₁或C₂，指数k并不会使耦合度的范围超出[0,1]，但却可以改变其分布范围。k越小，耦合度C₁^k或C₂^k越集中于高值区间，k越大，C₁^k或C₂^k越集中于低值区间，从而使k起到了调节耦合度分布区间的作用。这也更加表明，耦合度的分段具有很大的主观性甚至随意性。因此，耦合度分段不能机械地划定，必须考虑所分析问题的特定内涵。

2 应用中的几种疏漏或错误

本文在给出耦合度的两种严谨表达形式的基础上，对以往文献中存在的计算问题进行系统分析。以往由于未建立起耦合度模型的正确的、一般化计算公式，导致出现类型各异的计算疏漏或错误，在此将其归结为三种类型。

2.1 一般化形式的表达错误

前期大多数文献常用的耦合度一般化表达形式如下：

（14）

C = U 1 U 2 ⋯ U n ∏ U i + U j 1 n

或者

（15）

C = n × U 1 U 2 ⋯ U n ∏ U i + U j 1 n

采用式（14）的有文献[8,11,21,25]；采用式（15）的是文献[26]。从形式上看，式（14）和式（15）类似于本文式（2）的C₂而非C₁，但两式均存在错误，从而与式（2）存在根本差别。第一，未界定U_i、U_j的组合选择或范围界定不准确，准确的界定应为i<j或i>j的所有组合，即

U i + U j

的组合共计

C n 2

个。需要指出的是，在系统个数为2的情况下，易将式（14）和式（15）中的

∏ U i + U j

（i，j无限制时）理解为

U 1 + U 2 U 2 + U 1 = U 1 + U 2 2

，易同本文式（2）在n=2时的推导结果相混淆，但这种理解显然不正确，当n≥3时，就更无法得到类似结果[例如式（19）]。第二，式（14）漏掉乘数2，因此其最大值为0.5而非1（各系统值相等时可证得），式（15）最左侧的乘数应为2而非n，否则其最大值为n/2，当n=2时，最大值为1，与正确公式恰好一致，但当n≥3时，最大值不为1。从表面看式（14）似乎是漏掉乘数2，但本质上是未能理解耦合度C₂的内涵，根据本文第二部分计算分解过程，这个漏掉的乘数2本质上是

U i + U j

的除数（可进入分母的求积符号），而

U i + U j / 2

是任意两个不同系统的平均值。第三，式（14）和式（15）分母中的

U i + U j

漏掉指数部分即1/

C n 2

或2/n（n-1），1/

C n 2

即为所有

U i + U j

（须满足i<j）组合数的倒数，式（14）和式（15）的分母的本质应是所有

U i + U j / 2

（须满足i<j）组合的几何平均数，显然式（14）和式（15）没有这些数学意义，由于分母中漏掉指数1/

C n 2

，导致式（14）和式（15）不具备零阶齐次性和无量纲性。因此，正确的表达方式应是本文的式（2），其正确分解计算过程应为本文式（5）、式（6）。一些具体文献中的疏漏如下所示。

文献[21]在两系统情况下，根据式（14）[原文献式（2）]推导出式（16）[原文献式（3）]：

（16）

C = U 1 ⋅ U 2 U 1 + U 2 2 2 12

尽管式（16）确为两系统情况下的耦合度表达式（表1），但显然该式无法由式（14）推导出，而只能由本文式（2）推出。同样的问题也出现在文献[24]中。

文献[8]在两系统情况下，根据式（14）[原文献式（2）]推导出式（17）[原文献式（3）]：

（17）

C = U 1 ⋅ U 2 U 1 + U 2 2 12

首先，式（17）本身并不正确，其最大值为0.5，而非作者认为的1（U₁=U₂时可证得）；其次，式（17）也无法由式（14）推导出。

文献[25]在系统个数为3时，根据式（14）推导出式（18）[原文献式（7）]：

（18）

C = 2 × U 1 ⋅ U 2 ⋅ U 3 U 1 + U 2 U 1 + U 3 U 2 + U 3 13

显然，式（18）无法由式（14）推导出来，而只能由本文式（2）推导出来（表1）。

文献[11]在系统个数为4的情况下，根据式（14）[原文献式（1）]推导出式（19）[原文献式（2）]：

（19）

C = U 1 ⋅ U 2 ⋅ U 3 ⋅ U 4 ∏ U i + U j 14 (i, j = 1,2, 3,4; i ≠ j)

当n=4时，由于式（19）中

U i + U j

的组合数为

C n 2

=6个，式（19）不满足分母是对所有

U i + U j / 2

组合求几何平均数的要求，并造成C不具备零阶齐次性和无量纲性，因此式（19）的表达不正确。系统个数为4时C的正确表达式见表1。

文献[26]根据式（15）推导出式（20）[原文献式（2）]：

（20）

C = 2 × U 1 ⋅ U 2 U 1 + U 2 2 12

式（20）的确为两系统情况下的耦合度表达式，但式（15）本身却是错误的。式（15）的最大值为n/2，当n=2时，能够推导出正确的耦合度计算方法，此时耦合度最大值恰好为1，但当n≥3时，根据式（15）推导出的耦合度显然是错误的（与本文表1对比可知）。

2.2 C₁与C₂相混淆

C₁与C₂均为耦合度模型，尽管具有相似的计算逻辑，但计算过程和计算结果均存在不同。某些研究采用C₂的一般化公式，在特定系统数量下，却得到了C₁的结果，这种推导混淆了C₁与C₂。例如，文献[12,13]均采用式（14），得到系统个数为4的情况下的耦合度表达式：

（21）

C = U 1 ⋅ U 2 ⋅ U 3 ⋅ U 4 U 1 + U 2 + U 3 + U 4 4 14

第一，对于式（14）的问题，上文已经阐述；第二，式（21）的最大值为0.25而非作者所认为的1（U₁=U₂=U₃=U₄时可证得）；第三，式（21）无法由式（14）推导出来，即无法采用C₂的一般化公式推导耦合度C₁。实际上，式（21）漏掉乘数4，而且该式只能由C₁[本文式（1）]推导而出，正确表达见表1。

2.3 其他特定分析中的表达错误

耦合度模型应用中还存在其他各种类型不一的错误。对于这些错误，通过表2给予梳理和阐释。

表2 特定应用分析中的耦合度表达错误及分析

Tab.2 Errors of Coupling Model in some specific application analysis

存疑表达	文献来源	误解阐释与修正后的表达
$C = u 1 × u 2 / ∏ u 1 + u 2$	文献[5]的式（1）	求积符号没有意义。修正后的表达式为： $C = 2 × u 1 × u 2 / u 1 + u 2 2$
$C = U 1 × U 2 / U 1 + U 2 U 1 + U 2 1 / 2$	文献[4]；文献[8]的式（3）；文献[14]的式（1）；文献[18]的式（7）；文献[27]的式（3）	C∈[0，0.5]，而非作者认为的C∈[0，1]。事实上，根据文献[27]的表2中的计算结果，C均未超过0.5，导致耦合阶段判断失误，作者认为大部分处于所谓“颉颃”状态，实际多为高度耦合状态。修正后的表达式为： $C = 2 × U 1 × U 2 / U 1 + U 2 U 1 + U 2 1 / 2$
$C = u 1 × u 2 u 1 + u 2$	文献[3]的式（2）；文献[9]的式（1）；文献[28]；文献[29]	C∈[0，0.5]，而非原文献所认为的C∈[0，1]。正如文献[3]的表3所示，按照原式所计算的耦合度C均接近但未超过0.5，仅为真实值的1/2。修正后的表达式为： $C = 2 × u 1 × u 2 / u 1 + u 2 2$ ，或 $C = 2 × u 1 × u 2 u 1 + u 2$
$C = U 1 × U 2 × U 3 U 1 + U 2 U 1 + U 3 U 2 + U 3 3$	文献[7]的式（7）	C∈[0，0.5]，而非作者认为的C∈[0，1]。可由本文的C₂推导出，修正后的表达式为： $C = 2 × U 1 × U 2 × U 3 U 1 + U 2 U 1 + U 3 U 2 + U 3 3$
$C t = f U 1 t × f U 2 t × f U 3 t ∏ f U i t + f U j t 1 / 3$ 其中i，j=1，2，3，且i≠j	文献[10]的式（6）	C_t∈[0，0.5]，而非作者认为的C_t∈[0，1]。可由本文的C₂推出，修正后的表达式为： $C t = 2 × f U 1 t × f U 2 t × f U 3 t ∏ i j f U i t + f U j t 2 n - 1 1 / 3$ ，其中由于n=3，因此 $2 n - 1$ 恰好为1，即 $C t = 2 × f U 1 t × f U 2 t × f U 3 t ∏ i j f U i t + f U j t 1 / 3$ ，然而，当系统数量扩大到4个及4个以上时，简单套用易造成指数部分 $2 n - 1$ 遗漏。
$C = 2 U p ⋅ U q / U p + U q / 2$	文献[19]	该式不具备零阶齐次性，且C∈[0，U_p+U_q]，而非作者认为的[0，1]。修正后的表达式为： $C = 2 × U p ⋅ U q / U p + U q$ ，或 $C = U p ⋅ U q / U p + U q / 2 2 12$
$C = F R × F I F R + F I 2$	文献[16]的式（4）	C∈[0，1/4]，而非作者认为的C∈[0，1]。修正后的表达式为： $C = 2 × F R × F I F R + F I$
$C = U 1 × U 2 × U 3 U 1 + U 2 + U 3 3 13$	文献[6]的式（8）；文献[22]的式（2）	C∈[0，1/3]，而非作者认为的C∈[0，1]。可由本文的C₁推出，修正后的表达式为： $C = 3 × U 1 ⋅ U 2 ⋅ U 3 U 1 + U 2 + U 3 3 13$
$C = U p + U l U p + U l × U p + U l$	文献[20]的式（6）	该式反映不出耦合度的物理意义，不满足零阶齐次性， $C = 1 U p + U l$ ，值域并非作者认为的C∈[0，1]。修正后的表达式为： $C = 2 × U p × U l U p + U l$
$C = u 1 × u 2 u 1 + u 2$	文献[30]的式（2）	该式反映不出耦合度的物理意义，不满足零阶齐次性， $C ∈ 0, u 1 + u 2 2$ ，而非作者认为的C∈[0，1]。修正后的表达式为： $C = 2 × u 1 × u 2 u 1 + u 2 2$ ，或 $C = 2 × u 1 × u 2 u 1 + u 2$

3 结语

本文从理论上系统分析了耦合度模型的形式与性质，剖析了耦合度模型的物理意义及推导过程。针对其在地理学应用中的大量错误，对其进行了全面纠正。这些错误产生的原因在于没有认清耦合度模型的本质，违背了耦合度模型所具有的良好性质，加之对原始存误文献的不当引用，造成了滥用、错用甚至以讹传讹。要适当、准确地使用耦合度模型解决经济地理和人文地理问题，必须从理论上理解该模型的本质和性质，理解所分析系统之间的耦合动力机制，而不能简单套用。

感谢中国特种设备检测研究院的陈力博士（计算力学）、中国银行的孙杰博士（数学物理）、中国航发北京航空材料研究院的许巍博士（材料力学）提供的宝贵建议，感谢编辑部及审稿专家提出的宝贵修改意见，文责自负。

参考文献

原文顺序 | 文献年度倒序 | 文中引用次数倒序

[1]	Bardram J E. Temporal Coordination-On Time and Coordination of CollaborativeActivities at a Surgical Department[J]. Computer Supported Cooperative Work, 2000, 9(2):157-187.

[2]	Illingworth V. The Penguin Dictionary of Physics[M]. Beijing: Foreign Language Press,1996.

[3]	臧志谊, 景鹏, 李正. 城镇化与保险业发展的耦合协调关系及表现[J]. 保险研究, 2015(3):3-12.

[4]	徐卓顺. 东北三省能源效率与产业结构耦合协调度测度[J]. 城市问题, 2015(10):63-68.

[5]	范红艳, 薛宝琪. 河南省旅游产业与文化产业耦合协调度研究[J]. 地域研究与开发, 2016(4):104-109.

[6]	何宜庆, 王耀宇, 周依仿, 等. 金融集聚、区域产业结构与生态效率耦合协调实证研究——以三大经济圈为例[J]. 经济问题探索, 2015(5):131-137.

[7]	谢炳庚, 陈永林, 李晓青. 耦合协调模型在“美丽中国”建设评价中的运用[J]. 经济地理, 2016, 36(7):38-44.

[8]	刘军胜, 马耀峰, 吴冰. 入境旅游流与区域经济耦合协调度时空差异动态分析——基于全国31个省区1993—2011年面板数据[J]. 经济管理, 2015(3):33-43.

[9]	张琰飞, 朱海英. 西南地区文化演艺与旅游流耦合协调度实证研究[J]. 经济地理, 2014, 34(7):182-187.

[10]	朱江丽, 李子联. 长三角城市群产业—人口—空间耦合协调发展研究[J]. 中国人口·资源与环境, 2015(2):75-82.

[11]	蒋晓娟, 王月菊, 陈兴鹏, 等. 中国人口—经济—空间—社会城市化耦合协调的时空演变分析[J]. 兰州大学学报:社会科学版, 2015(5):63-71.

[12]	黄祥芳, 陈建成, 周伟. 江西省11市“四化”耦合协调发展水平测度[J]. 城市问题, 2015(3):67-74+104.

[13]	李玉中. 河南省“四化”耦合协调度及其影响因素研究[J]. 河南师范大学学报:哲学社会科学版, 2015(5):36-40.

[14]	刘雷, 喻忠磊, 徐晓红, 等. 城市创新能力与城市化水平的耦合协调分析——以山东省为例[J]. 经济地理, 2016, 36(6):59-66.

[15]	王仁祥, 杨曼. 科技创新与金融创新耦合关系及其对经济效率的影响——来自35个国家的经验证据[J]. 软科学, 2015(1):33-36,41.

[16]	王伟, 孙雷. 区域创新系统与产业转型耦合协调度分析——以铜陵市为例[J]. 地理科学, 2016(2):204-212. DOI

[17]	杨武, 杨淼. 中国科技创新与经济发展耦合协调度模型[J]. 中国科技论坛, 2016(3):30-35.

[18]	张乐勤, 陈素平, 陈保平, 等. 城镇化与土地集约利用耦合协调度测度——以安徽省为例[J]. 城市问题, 2014(2):75-82.

[19]	梁留科, 王伟, 李峰, 等. 河南省城市化与旅游产业耦合协调度时空变化研究[J]. 河南大学学报:自然科学版, 2016(1):1-8.

[20]	张轩. 辽宁省人口城镇化与土地城镇化耦合协调发展评价研究[J]. 统计与信息论坛, 2015(10):65-71.

[21]	蔡雪雄, 林南艳. 新型城镇化与房地产业耦合协调分析——以福建省为例[J]. 经济问题, 2016(9):116-119,125.

[22]	熊建新, 陈端吕, 彭保发, 等. 洞庭湖区生态承载力系统耦合协调度时空分异[J]. 地理科学, 2014(9): 1 108-1 116.

[23]	张玉萍, 瓦哈甫·哈力克, 党建华, 等. 吐鲁番旅游—经济—生态环境耦合协调发展分析[J]. 人文地理, 2014(4):140-145.

[24]	刘耀彬, 李仁东, 宋学锋. 中国城市化与生态环境耦合度分析[J]. 自然资源学报, 2005(1):105-112.

[25]	李楚婷, 阴劼. 滁州工业园区系统耦合协调评价[J]. 北京大学学报:自然科学版, 2015(5):939-945.

[26]	余乐, 张瑞. 重庆市实体经济与虚拟经济协调发展研究——基于容量耦合系统模型的实证检验[J]. 特区经济, 2013(6):103-106.

[27]	吴玉鸣, 柏玲. 广西城市化与环境系统的耦合协调测度与互动分析[J]. 地理科学, 2011(12): 1 474-1 479.

[28]	翁钢民, 李凌雁. 中国旅游与文化产业融合发展的耦合协调度及空间相关分析[J]. 经济地理, 2016, 36(1):178-185.

[29]	刘军英. 上市公司治理结构与资本运营的耦合协调度评价研究[J]. 企业经济, 2015(9):73-77.

[30]	杨亮, 丁金宏, 郭永昌. 中国社会保障与经济发展耦合协调度的时空特征分析[J]. 人口与经济, 2014(4):94-102.

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