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2019 , Vol. 39 >Issue 11: 18 - 24

DOI: https://doi.org/10.15957/j.cnki.jjdl.2019.11.003

区域经济理论与方法

概率分布相似最大化的“就近—随机”入学机会公平优化——以北京市西城区为例

  • 戴特奇 , 1, 2 ,
  • 赵韶雅 , ※, 1, 2 ,
  • 廖聪 3
展开
  • 1.北京师范大学 地理科学学部 地理学院，中国 北京 100875
  • 2.北京师范大学 地理科学学部/环境遥感与数字城市北京市重点实验室，中国 北京 100875
  • 3.北京大学 地球与空间科学学院,中国 北京 100871
※赵韶雅（1994—），女，山西长治人，硕士研究生。主要研究方向为区域分析与城市规划。E-mail：。

戴特奇（1980—），男，重庆人，博士，讲师。主要研究方向为交通地理、城市与区域发展。E-mail：。

收稿日期: 2018-11-14

  修回日期: 2019-09-03

  网络出版日期: 2025-04-17

收起

Maximum Spatial Equality of Educational Opportunity Based on the Proximity-Random System:A Case Study of Xicheng District, Beijing

  • DAI Teqi , 1, 2 ,
  • ZHAO Shaoya , ※, 1, 2 ,
  • LIAO Cong 3
Expand
  • 1. School of Geography，Faculty of Geographical Science，Beijing Normal University，Beijing 100875，China
  • 2. Beijing Key Laboratory for Remote Sensing of Environment and Digital City / Faculty of Geographical Science，Beijing Normal University，Beijing 100875，China
  • 3. School of Earth and Space Sciences，Peking University，Beijing 100871，China

Received date: 2018-11-14

  Revised date: 2019-09-03

  Online published: 2025-04-17

Fold

摘要

入学公平是社会关注的热点议题，对社会公平有重要的意义。既有研究表明，富裕阶层与优质教育资源之间存在的空间循环累积是造成基础教育入学机会不平等的重要原因，距离在其中有关键性的影响，这种现象普遍存在于就近入学等入学分配制度中。随机分配被认为是打破这种空间不平等机制的重要方式，目前已有城市开始试行。虽然地理学早在1960年代已经开始研究学区优化，且教育学正在出现“空间转向”，但引入随机机制的学区优化研究仍很少。文章沿用学区优化研究中的交通类比传统，引入蒙特卡洛交通流模拟研究进行问题类比，进而定义“就近—随机”入学的公平优化问题，即寻求各个学校到各个小区最优的学位分配方式，使入学机会趋于空间均等化。采用概率分布描述入学机会，将入学机会空间公平定义为概率分布相似程度最大化；借鉴区划问题中属性距离的计算方法，将概率分布相似程度最大化问题转换为多维空间内概率分布向量的距离最小化问题，进而构建包含最大距离约束和学校容量约束的概率分布相似最大化“就近—随机”空间分配优化模型。以北京市西城区为例进行模型应用，采用PSO算法进行求解。结果表明，文章构建的模型可以显著提升入学机会的空间公平。文章还进一步讨论概率分布相似建模思路在其它公平优化研究中的可能应用。

关键词： 教育公平; 基础教育; 就近入学; 随机; 均等化; 概率分布

本文引用格式

戴特奇 , 赵韶雅 , 廖聪 . 概率分布相似最大化的“就近—随机”入学机会公平优化——以北京市西城区为例[J]. 经济地理, 2019 , 39(11) : 18 -24 . DOI: 10.15957/j.cnki.jjdl.2019.11.003

Abstract

Equal educational opportunity is a hot topic of social concern, which is of significance to social justice. The existing literatures have shown that the geographical mechanism between wealthy families and better school is the main reason of the educational inequality, on which geographical access has a substantial impact, and this mechanism prevails in popular systems such as proximity-based system. Random allocation about admission to the school is considered to be an effective approach for breaking such inequality, it has been trialed or planned in some cities. With an apparently growing "spatial turn" in education, although the geographical study on school planning can be traced back to 1960s, it has few studies about the optimization of school districts based on the random allocation. Applying the transport analogy and simulation of Monte Carlo traffic flow, this paper explores the optimal allocation of enrollment opportunity equality based on the proximity-random system and realizes the spatial equality of enrollment opportunity of students. On the basis of the probability distribution, it defines the spatial equality of opportunity as the maximum similarities between possibility distributions. According to the calculation method of attribution distance in geographical regionalization problem, this paper converts the problem into minimizing total distance in multi-dimensional space in order to solve maximum similarities. A new spatial allocation optimization model which, toward equal educational opportunity, is developed to maximize the similarities between the probability distributions across demand nodes is applied to a case study of primary school allocation in the Xicheng District of Beijing and resolved by PSO. It suggests that this model can improve spatial equality of educational opportunity significantly. This paper also discusses the possibility for the optimization of other equality objectives.

Key words： educational equity; basic education; be admitted to neighborhood primary school; random; equality; probability distribution

基础教育是一项重要的基本公共服务。平等的入学机会是教育公平的重要目标。教育资源的地理分布和地理分配是造成教育机会空间不公平的主要原因。在我国，由于历史上长期实行“重点学校—普通学校”的二元制度，教育资源分布严重不均，这一现象已经引起研究的重视[1⇓⇓⇓⇓-6]。但对入学分配制度带来的空间不公平的关注还相对较少。我国法定的基础教育入学方式为就近入学，距离在分配中起决定性作用，靠近好学校的家庭通常能够获得对应的优质教育资源，这就将学校质量与区位价值联系在一起，造成“学区资本化”（学区房）。富裕阶层在这样的空间竞争中占据优势，不仅导致阶层的地理分化，而且这种富裕阶层围绕优质教育资源集中的地理分化，往往进一步强化教育资源的空间差异[7-8]。这种空间分布和空间分配的内在循环机制，同样存在于自由择校等其它基础教育入学制度中，在既有文献中被概括为财富对教育资源的“再生产（Reproducing）”或“自分类（Self-sorting）”等[9-10]，本文倾向于表述为“距离对教育公平的诅咒”。
一般认为，在入学分配中引入随机方式可以打破这种财富与优质教育之间的空间联系。英美等国已有一些城市尝试引入随机到既有入学制度中来促进公平[11]。随着教育公平成为我国当前教育改革的主要目标，“随机派位”的入学方式成为重要的改革方式，在一些城市开始试行[12]。随机引入往往可以显著提升公平，但也面临上学距离增加、既有利益人群反对等问题[13]。在引入随机方式的入学机制改革中，如何控制距离的负面影响，并尽可能地改善入学机会不公平，是一个亟待解决的空间优化问题。
空间优化是地理学的一个重要研究领域，而学区优化是其中的经典问题[14-15]，早在1960年代已有地理学家通过类比交通研究的方法来定义和解决学区优化问题，这一思路也成为学区研究的经典方法[16]。总体而言，多数学区优化文献继承交通研究的效率导向，学区优化模型的目标函数多为空间效率，关注在学校容量、上学距离等约束条件下，将学生总上学距离、总上学时间或是学校总费用最小化设为目标函数建立空间优化模型[17-18]。学区规划是一个复杂且普遍存在的全球性问题，涉及巨大的空间财富过程，教育学近年来已意识到地理学的重要性并开始出现明显的“空间转向”。但是，地理学在这方面的文献仍相对较少，很少研究从公平角度讨论学区优化问题[19]，只有少数研究从学生种族构成或最大上学距离等角度考虑学区规划中的公平问题[20]。国内关于学区优化的文献也不多[21]，多数文献的优化目标函数仍然是空间效率，其中一些研究考虑了最大上学距离、多校划片中的优质学校均分等公平约束条件[22⇓⇓⇓-26]。少数研究采用方差最小化方法构建机会公平为目标函数的学区优化模型，但该文献将入学机会简单描述为需求点的教育质量期望值，而实际上入学机会是到各个学校的概率组合[27]。总体而言，国内外地理学文献还较少涉及随机的空间分配优化，目标函数为机会公平的学区优化模型研究很少，少数机会公平优化模型中的机会度量过度简化。
在就近入学中引入随机分配的主要目标是为促进教育机会公平，本文将研究“就近—随机”制度下入学机会公平最大化的空间优化问题。后文将首先陈述问题的定义过程，即秉承学区规划问题定义中类比交通研究的传统，通过类比包含蒙特卡洛随机实验的交通流模拟研究来定义“就近—随机”入学分配问题。在问题定义基础上，本文将采用学生到各个学校的概率来刻画入学机会，用概率分布相似最大化来描述公平最大化目标，进而构建包含最大距离约束和学校容量约束的“就近—随机”空间分配优化模型，并将以北京市西城区为例进行模型应用，通过多情景对比分析模型的优化效果。

1 方法与数据

1.1 类比蒙特卡洛交通流模拟的问题定义

在学区优化问题的传统交通类比研究中，一般将“居住小区的学生分配到学校入学”比作“供给点和需求点之间的货物运输”，用“学生上学成本”类比“货物运输成本”，从而在供给点规模（相当于学校规模）约束下建立优化模型实现学区规划问题的求解[16,28]。这样的类比下，容易建立就近入学的学区优化模型，各个小区的入学分配显然是唯一且确定的。这种确定性方案的类比定义和优化模型，不适用于刻画引入随机分配方式后的学区规划问题。引入随机分配后，每个居住小区会获得多所学校的入学学位，学生通过抽签（比如电脑随机派位）被指派到其中的某所学校。因此，每个小区将对应多个学校，每个学生对应的学校是不确定的，需要用概率进行描述。本文将这种引入随机的就近入学机会分配问题定义为“就近—随机”入学问题。
已有文献尝试定义包含随机分配机制的学区优化问题[11]，其空间优化问题为如何重新划分学区来实现更大程度的整体公平。但这一问题默认了学校的学位均匀（按相同的概率）分配给学区内所有学生。实际上，均匀分配未必能达到区域整体的公平最大化。类比包含随机过程的交通研究，可以很好地定义“就近—随机”入学分配问题。本文将采用包含蒙特卡洛方法的交通流模拟研究来进行类比[29-30]。蒙特卡洛方法是通过重复随机实验来获取已知概率分布抽样的一项数值分析技术，为地理分析了提供强大的计算框架，已在空间分析中得到了越来越多的应用[31-32]。在包含蒙托卡罗方法的交通流模拟研究中，已知的是小区间真实的通勤流量，模拟的是每个人到每个就业点的通勤流动。具体地，居住小区的就业者（对应居住小区的学生）被随机地分配到就业点（对应学校），该随机分配过程需满足小区间真实的通勤流量（对应学校的学位分配方案），即小区间真实的通勤流量反映了每个人抽签面临的概率分布。“就近—随机”入学机会分配问题的不同之处在于，“小区间真实的通勤流量”是未知，需要构建公平导向的空间优化模型来求解。
具体地，在“就近—随机”入学机会分配问题中，每个小区从哪些学校获得学位以及获得多少学位，将会影响各个小区获得的入学机会，进而对整体的机会公平产生影响。简言之，在满足就近的前提下，学校的学位如何分配到各个小区，从而实现最大程度的整体机会公平，是本研究将要解决的空间优化问题。

1.2 基于概率分布相似的空间公平度量

构建入学机会空间公平优化模型，首先需要对机会公平进行数学定义。不同的学科和不同的视角，对入学机会公平有不同的定义[33]。针对小学这样的基础教育，本文采用Hay等的定义，即机会公平追求的是相同的选项组合，或者说是尽量相似的选项组合[9]。按照这样的定义，入学机会是进入各个学校的可能性的组合，本质上是一个离散的概率分布。也有研究采用概率分布的期望值来表述入学机会[27]，这样的好处是可以直接采用常用的方差最小化方法来构建空间公平优化模型。但可能存在如图1的情况，学生a和学生b的入学机会期望值相等，但入学概率分布并不相同，即同期望并不意味着同机会。考虑到概率分布是入学机会更为全面的刻画，本文将采用概率分布来定义入学机会。所有人的入学概率分布的相似程度越高，意味着机会均等化程度越高。
图1 概率分布期望值相等但机会不均等

Fig.1 The relationship between the enrollment opportunity and the enrollment probability

如果采用概率分布来定义机会，机会公平的度量就变为了多个概率分布之间总的相似程度，故不能采用方差最小化思路来构建优化模型的目标函数。本文依据基尼系数和地理区划中属性距离的计算方法[34-35]，将多个概率分布整体相似程度的度量，转换为各个概率分布到绝对公平概率分布的差异的累计。具体步骤如下：
①定义绝对公平的入学概率分布。绝对公平的入学概率分布是在没有距离约束的情况下，由各个学校对所有学生等同的学位分配概率组成。在此情况下，用Aj表示所有学生到学校j入学的概率，即学校j可提供的学位数与研究区学生总数的比例，可以通过公式（1）计算。所有学生可获得的来自各个学校（共J个学校）的入学概率组成一个J维向量（A1，…，AJ）：
A j = S j N = S j ∑ i = 1 m H i
式中：Sj为j学校可以提供的入学学位数；N为研究区的学生总数；Hi表示需求点i的学生人数。
②定义实际的入学机会概率分布。相比绝对公平的概率分布，本文将需求点i实际获得的入学概率分布记为Pi，它也是一组J维向量，由需求点i到各个学校的入学概率组成。将需求点i到学校j的实际入学概率记为Pij：
P i j = X i j H i
式中：Xij为需求点i分配到学校j的入学人数。
③定义“概率距离”，这里定义的概率分布距离表示每个需求点实际获得的入学概率分布到绝对公平入学概率分布之间的距离，即两个J维向量在J维空间的抽象距离。概率分布距离反映了实际获得的入学机会与绝对公平的入学机会之间的差异。具体计算公式为：
D i = ∑ j = 0 n P i j - A j 2
这样，入学机会公平程度的度量就转换为每个小区i的入学概率分布到绝对公平的入学概率分布的概率距离总和（图2）。该距离和越小，与绝对公平的入学概率分布越相似，入学机会分配越公平。从这个角度来看，入学机会公平问题的度量被转化为J维空间内总距离最小化的P-median问题。
图2 入学机会公平程度的度量方法

Fig.2 Measurement of enrollment opportunity equality

1.3 空间优化模型的构建与求解

根据上述入学机会公平的度量，可以构建以入学概率分布相似程度最大化为目标的模型，即概率分布相似“就近—随机”入学机会分配模型。入学机会分配公平的目标受到学校容量约束和最大距离约束。具体模型为：
m i n ∑ i = 1 m H i D i
s.t.
H i = ∑ j = 1 n X i j ,   ∀ i ∈ I ,   ∀ j ∈ J
C m a x ≥ ∑ i = 1 m X i j ,   ∀ i ∈ I ,   ∀ j ∈ J
C m i n ≤ ∑ i = 1 m X i j ,   ∀ i ∈ I ,   ∀ j ∈ J
X i j = 0   i f   d i j D m a x ,   ∀ i ∈ I ,   ∀ j ∈ J
X i j ∈ Z 0 + ,   ∀ i ∈ I ,   ∀ j ∈ J
式中：dij为需求点i到学校j的距离；Dij为最大距离约束；Cmax和Cmin分别为学校规模的最大值和最小值。式（5）要求所有学生都能入学；式（6）、（7）为学校容量约束；式（8）表示最大上学距离约束；式（9）为整数约束。

1.4 模型应用案例区简介

为了展示模型的应用性，本研究将以北京市西城区为例进行示例。在模型求解方面，本文构建的模型为整数规划问题，属于典型的非确定性多项式难题（NP-hard）问题。启发式算法在这类问题的求解中具有较好的应用。本文将采用粒子群优化（PSO）算法来进行模型求解。
本文还将进行多情景比较来展示本模型在优化方面的效果。除了与就近入学情景进行对比，本文模型下的“概率相似”情景也将与另一个入学公平优化模型求解结果进行对比，即基于期望的方差最小化模型的“方差最小”情景[27]。这两个情景的模型来于既有的研究，在此不再赘述。2012年研究区共有小学63所，学校位置数据来源于北京市教育委员会，学校规模数据来源于《北京市教育年鉴》；研究区共有小区1 142个，各小区入学需求规模根据各个小区总人口和北京市分年龄段人口数据按比例计算而得。案例区入学需求总规模为11 083人。各个小区的学生到各个学校的最短上学距离依据实际路网数字化后计算而得（图3）。
图3 研究区概况

Fig.3 Overview of the study area

2 结果与分析

根据前文的模型和案例区数据，求解得到三个情境下的各个学校入学指标的空间分配结果，如图4。由图4可见，“就近入学”、“方差最小”和“概率相似”三种情境中，“概率相似”情境下学位分配结果最分散。这从学位分配的分散情况也可以反映出来：三种情境下，每个小区获得的入学指标分别来自1.00、3.90和5.33个学校，而每个学校的入学指标平均分配给18.13、70.63和96.65个小区。
图4 不同情境下各个学校入学指标空间分配结果

注：左上：“就近入学”情景；左下：“方差最小”情景；右：“概率相似”情景。

Fig.4 Spatial allocation of school entrance indicators under different scenarios

本文还将进一步从机会公平和上学距离的角度进行比较。机会公平的比较主要采用绝对公平的概率距离总体平均值，该值越小则入学机会越公平。三种情景相比而言，“就近入学”情境下研究区总体入学公平性最差，但平均上学距离最短。到绝对公平的概率距离总体平均值为1.00；最大距离为1.01，最小距离为0.95，方差为0.20E-3。在上学距离方面，学生的平均上学距离为0.66 km，最大值为2.06 km，最小值为0.36E-2，方差为0.13。
“方差最小”情境下，研究区总体公平性适中，但平均上学距离最长。到绝对公平的概率距离总体平均值为0.56，与“就近入学”情景相比下降44%。但是平均上学距离的代价显著，与“就近入学”相比增加平均上学距离增加1.99倍，为1.96 km。但是这一情境下的平均上学距离远小于北京市实际调查的平均上学距离值4.30 km。
“概率相似”情境下，研究区总体公平性最好，且平均上学距离适中。到绝对公平的概率距离总体平均值为0.41，相比“就近入学”情景下降59%，同时比“方差最小”情景下降26.38%。平均上学距离为1.95 km，虽然比“就近入学”情景上升1.97倍，但低于“方差最小”情境下的平均上学距离，同时远小于实际的平均上学距离。
表1 不同情境下，不同指标值的比较

Tab.1 Comparison of the major indicators under different scenarios

绝对值 相对值（“就近入学”
情景=1.00）
入学概率平均距离 平均上学距离 入学概率平均距离 平均上学距离
“就近入学”情景 1.00 0.66 1.00 1.00
“方差最小”情景 0.56 1.96 0.56 2.99
“概率相似”情景 0.41 1.95 0.41 2.97
从小区尺度看，三个情景下各个小区入学机会公平性以及平均上学距离差异显著。与“就近入学”情景相比，“方差最小”情景下占全部小区数量96.85%的小区到绝对公平的概率距离下降，包括学生数量占全部学生数量的99.60%。“概率相似”情景下，到绝对公平的概率距离下降的小区和学生比例较“就近入学”情景都进一步提高：小区占比97.11%，包括的学生占比99.67%；相比较“方差最小”情景，占全部小区数量72.68%的小区到绝对公平的概率距离下降，包括的学生数量占全部学生数量的88.63%。从上学距离来看，“方差最小”情景和“概率相似”情景中均有超过98%的小区及学生上学距离高于“就近入学”情景。
“概率相似”情景下最大距离约束的放松会带来入学机会公平性的提升，但仍然与绝对公平有显著差异（表2）。将距离约束从3 km放松到5 km，到绝对公平的概率距离总体平均值下降13.19%，为0.35。其中72.68%的小区包括84.48%的学生入学机会公平性进一步提升。同时，平均上学距离上升60.21%，为3.12 km；平均上学距离增加的小区和学生占全部小区和学生数量的比例分别为95.27%和98.76%。虽然仍小于实际上学距离，但已经出现了超过3 km的较远上学现象。从案例区的结果来看，“概率相似”情景中最大距离约束从3 km放松到5 km，对入学机会公平的提升帮助不是很大，这与“方差最小”情景下最大距离约束放松的结果有显著差异[27]。
表2 “概率相似”情境下放松最大距离约束对公平和上学距离的影响

Tab.2 The impact of the maximum distance constrain on enrollment quality and schooling-distance in the scenario of“similarity probability”

最大距离约束 指标的变化幅度（最大距离约束为3 km情景=1）
3 km 5 km
平均概率距离 0.41 0.35 -13.19%
平均上学距离（km） 1.95 3.12 +60.21%

3 结论与讨论

在基础教育的各种入学机制中，距离往往有重要的影响，结果导致学校质量资产化到了附近的房价中，排斥低收入阶层，造成教育机会的空间不均。入学分配机制中引入随机方式是改善教育公平的重要方式，我国越来越多的城市开始了相应的改革试验。本文针对“就近—随机”入学机制下入学机会分配空间公平优化问题，构建概率分布相似“就近—随机”模型。在模型构建基础上以北京市西城区为例进行多情景对比应用，主要结论如下：
学区研究中的交通类比传统仍有很强的适用性，包含蒙特卡洛随机试验的交通流模拟可以很好地类比“就近—随机”入学机制的学区规划问题。在这样的问题定义框架下，可以采用更为全面的刻画入学机会的指标，即到各个学校的入学概率分布。在此基础上，教育空间公平最大化就可以定义为概率分布的相似程度最大化，进而构建概率分布相似最大化的空间优化模型。模型可以施加最大距离约束和学校容量约束，并可采用启发式算法进行求解。
从案例区三个情境下的各个学校入学指标空间分配结果来看，“概率相似”情境下各个学校入学指标分配最分散，但是总体公平性最好。虽然“概率相似”情景下，平均上学距离相比“就近入学”情景增加1.97倍，但低于“方差最小”情景，同时低于实际调查的平均上学距离。此外，“概率相似”情境下最大距离约束的放松不会带来入学机会公平程度的大幅度提升，这与“方差最小”情景的结果不同。
本文所构建的概率分布相似最大化的“就近—随机”模型，考虑了距离和公平两个关键因素，但没有考虑既得利益人群的反对程度，而公众的接受程度是随机分配改革中不应忽视的重要方面，未来研究中可能需要针对这一问题进一步构建跨期动态优化模型。此外，本文的研究方法对其他类型的公共服务设施优化具有启示意义。蒙特卡洛交通流类比定义随机分配问题、概率分布的引入与度量方法并不仅仅局限于入学机会分配，也可用于其他公平导向的设施优化，但具体优化模型的构建还需要根据实际情况做出进一步改进。

感谢华夏幸福基业股份有限公司对本研究的资助！

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