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2025 , Vol. 45 >Issue 7: 108 - 117

DOI: https://doi.org/10.15957/j.cnki.jjdl.2025.07.011

Scaling Law of Spatial Distribution of Urban Functional Zones in Shanghai under the Effect of MAUP

  • HU Chenhui , 1 ,
  • JIN Cheng , 1, 2, ※
Expand
  • 1. School of Geography，Nanjing Normal University，Nanjing 210023，Jiangsu，China
  • 2. Collaborative Innovation Center for the Development and Utilization of Geographic Information Resources，Nanjing 210023，Jiangsu，China

Received date: 2024-07-01

  Revised date: 2024-09-30

  Online published: 2025-08-28

Fold

Abstract

Urban scaling law reveals the scaling relationship between urban indicators and population size. This paper explores the scaling relationship between the spatial distribution of urban functional zones and population size at different scales with the help of POI data in Shanghai. This paper confirms that the scaling law also exists within the city and is affected by the Modifiable Areal Unit Problem (MAUP for short). The results show that: 1) The scaling law of the spatial distribution of urban functional zones in Shanghai under raster partitioning is more significant than that of administrative partitioning, and tends to be optimized as the spatial scale increases. 2) The spatial distribution of urban functional zones in Shanghai is with sub-linear scaling under administrative partitioning, while it is with linear scaling under raster partitioning. There are also differences in the scaling laws between different urban functional zones. Restaurant functioncal zone, commercial functioncal zone and residential functioncal zone are with super-linear scaling, workplace functioncal zone and education functioncal zone are with linear scaling, traffic functioncal zone is with sub-linear scaling. 3) The overall efficiency of urban functional zones in Shanghai is high, and most regions, including the main urban area, are generally better than expected, while there are differences in the efficiency of different urban functional zones.

Key words： urban scaling law; modifiable areal unit problem (MAUP); urban functional zone; spatial scale; residential functioncal zone; workplace functioncal zone and education functioncal zone

Cite this article

HU Chenhui , JIN Cheng . Scaling Law of Spatial Distribution of Urban Functional Zones in Shanghai under the Effect of MAUP[J]. Economic geography, 2025 , 45(7) : 108 -117 . DOI: 10.15957/j.cnki.jjdl.2025.07.011

在复杂性理论的支撑下，新城市科学的兴起为观察和认识城市系统提供新的框架[1]。作为新城市科学的代表，城市标度律（Urban Scaling Law）基于城市系统内部组织的非线性特征，能够反映城市要素与人口规模之间的缩放关系[2]。已有研究证实城市标度律在全球不同国家和区域[3-4]，乃至古代社会城市[5]中普遍存在，是城市系统内部组织结构的一般法则。城市标度律展现人口规模在城市运行中的决定性作用，以及城市要素与人口规模之间普遍的规模经济与集聚效应[6-7]。相较传统的人均指标，城市标度律消除了城市规模带来的影响，更客观地反映城市子系统的实际表现[8]。不仅如此，从城市系统类型来看，城市标度律同时存在于城市间系统和城市内部系统[9]。前者代表由多个城市共同组成的城市体系的空间规律，而非单个城市的性质；后者则代表城市内部单元组织形成的单个城市系统的状态和特征。然而，已有研究更多关注城市间系统，对城市内部系统的关注较少[2,10-11]，尤其针对城市内部要素标度律的机制解释和实证应用依然不足。在全球城市化的背景下，城市标度律为探索城市内部复杂结构提供简单规则，是理解城市内部系统的有效方式[12]。挖掘城市内部系统所遵循的城市标度律，有助于深入探索城市组织与发展的内在机制。
可塑性面积单元问题（Modified Areal Unit Problem，MAUP）指由于对连续的地理现象的空间单元的人为划分而产生空间模式的变化所引起的问题[13-14]，包括尺度效应和划区效应。尺度效应指空间数据改变粒度或栅格细胞大小时分析结果随之变化；划区效应则指在同一尺度下划区方案的变化引起分析结果的变化[15]。MAUP效应在空间统计分析中普遍存在，是地理研究关注的重要问题[16]，而城市标度律也受到潜在影响。从统计分析来看，城市标度律受到单元数量和大小的直接影响，决定城市标度律函数的拟合结果[9,17]。从现实含义来看，不同单元划分代表不同空间尺度下的城市要素与人口规模之间的缩放关系，相应城市标度律具有不同的空间内涵[18-19]。然而，已有研究对MAUP效应下的城市标度律的探讨依然较少。一方面，已有研究更多关注城市间系统的标度律[10-11,20]，因此研究通常从确定面积单元的城市区域展开；另一方面，针对城市内部标度律的探讨更多基于特定行政区划或数据精度[21-22]展开，较少关注不同空间尺度下的城市标度律。因此，检验城市标度律对MAUP效应的敏感性，探讨不同空间尺度下城市标度律的空间内涵，有助于深化对城市标度律的认识。
城市功能区反映人类活动在城市空间中的基本形式，直观展现城市空间形态与发展活力[23-24]。已有研究针对城市功能区的空间分布与结构[25]、组织形式与机制[26]，以及空间流动与联系[27]展开诸多探讨，为刻画现代城市内在特性发挥重要作用。不仅如此，伴随大数据挖掘与应用的成熟，遥感影像、交通轨迹、社交媒体等[28-29]不同来源的细粒度空间大数据被广泛应用于城市功能区研究，尤其是POI数据（Point of Interest）常被用于识别和分析城市功能区的空间特征[30-31]。基于此，本文将城市功能区视为由POI表征的城市功能节点，代表城市功能在城市空间中的微观布局，例如公共服务设施、居住点位、工作点位等，相应城市功能区范围及其数量由对应的POI数量决定。因此，探讨城市功能区与人口规模在城市内部的缩放规律，能够为刻画城市空间布局与内在社会性质提供新的视角。相较已有研究对城市功能区空间分布的探索[32]，当前城市发展及其功能区布局趋于复杂，有必要寻求城市内部更为一般的空间规律[12,33]，而城市功能区空间分布标度律为城市内部空间的形成提供一种相对普遍性的解释。此外，相较城市GDP、建成区面积等基础指标[34]，城市功能区空间分布的标度律从不同空间尺度下的城市复杂系统运行出发，展现城市内在的空间联系和社会形态，为探索城市社会运行的基本规律做出尝试。
综上，本文以中国最大的城市上海为例，探讨MAUP效应影响下的城市功能区空间分布标度律，从而展现空间尺度对城市内部空间组织的影响，以及该影响下城市内部空间组织的一般规律。具体而言，本文尝试实现以下目标：①检验城市内部标度律对MAUP效应的敏感性；②分析不同空间尺度下城市功能区空间分布的标度律；③讨论标度律视角下城市功能区的效能。依据上述结果，本文为探索城市内部空间规律提供客观视角，以期为城市内部体系规划、城市建设和更新提供科学支撑。

1 数据来源与研究方法

1.1 研究区域

本文以上海为研究区域。上海是中国最大的城市，集聚人口规模庞大，2022年常住人口达2475.89万人。同时，上海城市功能完善，城市功能区分布广泛，相应POI数量众多、采集精确，能够充分反映城市内部的功能组织形式。不仅如此，上海作为超大城市，具有复杂的城市空间结构，为探讨城市内部空间关系和空间分布规律提供试验基础[35]。基于此，本文首先依据已有研究中的常见单元类型[21-22]，将研究区域划分为行政区划和栅格等不同单元，其中行政区划包括街道和市辖区，栅格大小则由1~20 km带宽不等（图1）。其次，分别将城市功能区与人口规模数据叠置于不同单元类型的研究区域图层，并统计各单元内的人口规模和服务覆盖范围内的POI数量。最后，依据各单元统计数据分别计算不同单元类型下的城市标度律。利用上述过程，一方面能够比较不同行政区划单元下城市功能区空间分布与人口规模之间的缩放关系，基于现实条件分析不同空间尺度下的城市内部空间规律；另一方面，借助不同带宽的栅格单元分析城市内部标度律，进一步抽象刻画城市内部空间规律。
图1 不同尺度划分下的研究区域

Fig.1 Study area at different scales

1.2 数据来源

本文数据包括上海城市人口规模数据和城市功能POI数据（图2）。其中，上海城市人口规模数据源于Chen等发表的人口栅格数据集[36]。该数据集基于集成学习和地理空间大数据，从2020年中国县和镇级的第七次全国人口普查数据中以100 m为分辨率生成人口栅格。此外，上海城市功能POI数据源于高德地图，具体利用Python语言于高德地图爬取获得，爬取时间为2022年12月。为深入探讨不同类型的城市功能区与人口规模之间的标度律，本文在所有POI数据之外，参照已有研究[21-23]，选取餐饮、购物、居住、工作、教育、交通六大类POI数据，用以表征常见的城市功能（表1）。该六大类POI数据与城市功能密切相关，涵盖公共服务、生活居住、生产劳动等不同形式的服务与设施，较大程度反映城市内部空间组织特征及其与城市人口活动的内在联系，有助于深入对城市内部空间一般规律的认识。具体对既有高德地图POI一级和二级分类进行拆分和重组，并经过重复值剔除、异常点筛选和坐标纠偏等处理，在ArcGIS中建立上海POI空间数据库。
图2 上海人口与POI分布

Fig.2 Distribution of population and POI in Shanghai

表1 基于POI数据的城市功能分类及统计

Tab.1 Classification and statistics of urban functions based on the POI data

城市功能 POI二级分类 POI数量（个）
餐饮 餐饮相关场所、茶艺馆、糕饼店、咖啡厅、快餐厅、冷饮店、甜品店、外国餐厅、休闲餐饮场所、中餐厅 83122
购物 便民商店/便利店、超级市场、服装鞋帽皮具店、个人用品/化妆品店、购物相关场所、花鸟鱼虫市场、家电电子卖场、家居建材市场、商场、特色商业街、特殊买卖场所、体育用品店、文化用品店、专卖店、综合市场 153561
居住 住宅区 23244
工作 产业园区、工厂、公司、公司企业、楼宇、农林牧渔基地、知名企业 104613
教育 博物馆、传媒机构、档案馆、会展中心、驾校、科技馆、科教文化场所、科研机构、美术馆、培训机构、图书馆、文化宫、文艺团体、学校、展览馆 25106
交通 地铁站、公交车站、交通服务相关、轮渡站、停车场 51106

1.3 研究方法

1.3.1 城市标度律

城市标度律用以定量测度城市要素与城市人口规模之间的非线性缩放关系[1]，为定量分析城市要素分类建立统一的分析框架。同时，Xu等证实城市内部系统也存在缩放关系[20]，因此城市标度律适用于分析城市内部要素的定量关系。分析框架的公式如下：
Y t = Y 0 N t b
式中： Y t表示t时点的城市POI数量； Y 0为标准化常量； N t表示t时点的城市内部各区人口，用于衡量各区的规模；β为标度因子，反映城市内部系统中城市功能区与城市人口的标度关系特征。标度律可以根据β与1的大小划分为3种关系模式[3]：①次线性模式（β<0.9），反映城市要素的增加小于人口规模的增加，总体呈现规模经济的特征，例如建成区面积、道路长度等城市基础设施的标度律通常成次线性模式；②线性模式（β≈1.0），反映城市要素的增加与人口规模的增加保持一致，例如工作岗位数、家庭用水量等与个人需求相关要素的标度律通常成线性模式；③超线性模式（β>1.1），城市要素的增加大于人口规模的增加，表现出集聚效应，例如专利数目、GDP等与城市社会经济活动相关要素的标度律通常为超线性模式。通常对公式（1）取对数，得到公式（2）：
l o g Y t = b l o g N t + l o g Y 0
式（2）为线性函数，能够采用线性函数拟合取得标度因子β。本文借助城市标度律探讨上海城市功能区与人口规模之间的数量关系。

1.3.2 要素效能指数

城市标度律揭示城市内部要素与城市规模之间次线性和超线性关系的普遍存在。在比较不同规模区域的要素时，传统做法是依据要素人均值的大小来判断，但这忽略了城市指标与人口规模的非线性标度关系。为此，Bettencourt等[8]提出规模修正指标（SAMI），以比较城市要素相对值的方式消除上述影响。计算公式如下：
S A M I i = l o g Y i Y N i = l o g Y i Y 0 N i b
式中： Y i是城市要素的实际值； Y N i表示城市内部区域i在人口规模 N i下城市要素的预期表现值，可由公式（1）取得； Y 0和β为公式（2）的拟合参数； S A M I i为无量纲值，它使任意的城市内部区域之间可以直接比较，并为城市内部系统提供有意义的位序[37]，其本质是城市要素关于人口规模拟合方程的残差，表示偏离其预期值的程度。然而，该指标只比较城市要素实际值和预期值之间的绝对大小，在实际的城市要素效能测度中还需考虑城市要素的价值方向，构建“要素效能指数”（UPI）来测度城市要素的效能，即城市在该要素方面实际发挥出其预期能力的程度，通常效能值越高代表城市要素的预期能力发挥越好，反之则越差。考虑城市功能区与城市生活便利程度密切相关，因此可视为正向收益要素。城市功能区效能指数的计算公式如下：
U P I i = l o g Y i - l o g Y 0 N i b
式中： U P I i表示城市内部区域i的POI的效能指数； Y i是POI数量的实际值； Y 0 N i b是POI数量的预期值，可由公式（1）计算得到。要素效能指数能够度量城市内部各区要素的相对表现，并且可以分为3种模式：优于预期（UPI>0）；等于预期（UPI=0）；劣于预期（UPI<0）。本文借用要素效能表示城市功能区实际发挥出的相对预期效果的程度。

2 结果与分析

2.1 行政划分下POI空间分布标度律

2.1.1 行政划分下整体POI空间分布标度律

以行政区划为分析单元，将POI作为城市功能区的微观量化表征，探讨上海城市功能区空间分布标度律（图3）。结果显示，以街道和市辖区为单元的POI空间分布标度律呈现不同拟合优度。具体而言，不同单元下的POI数量与人口规模在双对数坐标下线性相关，两者存在明显的标度关系。这表明上海城市功能区空间分布符合标度律，并印证城市内部系统同样表现出简单的缩放规律。然而，不同划分尺度下的线性相关程度仍有差异，以市辖区为单元的拟合优度（R2=0.8619）相比以街道为单元的拟合优度（R2=0.7139）更大。这意味着上海城市功能区空间分布的标度律受到尺度效应的影响，并且更大空间尺度的市辖区单元之间的缩放规律更为显著。
图3 行政划分下整体POI空间分布标度律

Fig.3 Scaling law for the spatial distribution of overall POI under administrative partitioning

从标度律来看，行政划分下的上海POI空间分布标度律均呈现次线性模式（β<0.9），但不同划分尺度下的标度因子依然存在差异。次线性模式表明各单元之间POI数量的增加小于人口规模的增加。这使人口密集的街道或市辖区共享更多城市功能，相应表现出明显的规模经济。同时，以街道为单元的POI空间分布标度律（β=0.7670）相比以市辖区为单元（β=0.6425）更大，并且在特定街道呈现一定集聚特征，这意味着不同街道之间的城市功能区呈现更为显著的空间异质性。其较大程度源于特定街道作为城市核心区域，集聚数量众多的城市功能。这使部分城市功能区具有更大服务覆盖范围和最大经济效益的同时，也客观放大不同街道之间的空间不平等。相比之下，以市辖区为单元则涵盖更多的城市功能区，从而减小不同单元之间的相对差距，这也表明上海各市辖区的城市功能均相对完善。此外，不同行政划分下的标度律差异表明其受到MAUP效应影响，并且该影响源于微观视角下城市功能区空间分布的复杂结构。

2.1.2 行政划分下不同类别POI空间分布标度律

以行政区划为分析单元，借助不同类别POI的空间分布，深入探讨上海城市功能区空间分布的内在规律（表2）。结果显示，不同类别POI空间分布标度律的拟合优度表现出明显差异，并且最大的R2为0.7857，最小仅为0.3875。这表明不同于整体城市功能区空间分布与人口规模之间的简单规律，具体至特定的城市功能区的空间分布，则受到经济效益、社会分异和行政规划等更多因素的制约。例如，购物区与交通区通常直接服务于城市整体居民，相应具有相对明显的标度律；而工作区和居住区等则在行政区划中的布局存在倾向性，与特定人群具有更密切的联系，因而并不呈现显著的标度律。此外，与整体POI空间分布标度律的结果相一致，不同类别POI空间分布同样受到单元划分类型的影响，并且不同划分单元下的标度因子差异明显。以拟合优度较大的购物类POI（市辖区单元R2=0.7059；街道单元R2=0.7818）为例，以街道为单元的标度律呈现超线性模式（β=1.1256），以市辖区为单元则呈现次线性模式（β=0.5818）。这意味着购物区在特定街道内具有明显集聚效应，而在市辖区内则以区域中心的形式为整个区域服务，并由此发挥规模经济效应。
表2 行政划分下不同类别POI空间分布标度律

Tab.2 Scaling law for the spatial distribution of different categories of POI under administrative partitioning

拟合参数 划分单元 餐饮 购物 居住 工作 教育 交通
R² 街道 0.6883 0.7818 0.4744 0.6280 0.6270 0.7857
市辖区 0.5344 0.7059 0.3875 0.5740 0.5299 0.6671
β 街道 0.9835 1.1256 1.0282 0.8487 0.9737 0.8572
市辖区 0.5372 0.5818 1.1121 0.8265 0.7477 0.5422

2.2 栅格划分下POI空间分布标度律

2.2.1 栅格划分下整体POI空间分布标度律

为进一步探讨MAUP效应下的上海城市功能区空间分布标度律，本文以栅格为单元进行划分，带宽尺度1~20 km，以1 km为基本单位逐级递增，分别拟合计算不同带宽下POI空间分布的标度律。从拟合优度来看，栅格划分下的标度律拟合优度大于行政划分下的标度律（图4a）。这表明相比行政区划单元，以栅格为单元更能表现城市功能区空间分布的缩放规律。不仅如此，栅格划分下的标度律拟合优度同样存在差异，R2呈现先突变后平稳波动的增长趋势，当带宽达到3 km时，整体拟合优度趋于优化（R2>0.9），并且在带宽为20 km时达到最优（R2=0.9843）。这表明城市功能区在较大空间尺度上更能反映上海城市内部的缩放规律。其较大程度源于城市功能区需要一定的服务范围，因此在较大空间尺度上城市功能区与人口规模之间的关系更为显著。
图4 栅格划分下整体POI空间分布标度律

Fig.4 Scaling law for the spatial distribution of overall POI under raster partitioning

比较不同带宽下的标度因子（图4b），栅格划分下的POI空间分布与人口规模之间主要呈线性关系（均值β=1.0349），并且随带宽变化的幅度较小。从标度律来看，栅格划分下的POI空间分布与人口规模相互协调，各单元之间两者成比例增长。其中，当拟合优度最大时的标度律也趋近于线性模式（R2=0.9843，β=1.0195）。这表明上海城市功能区空间分布相对完善，与各划分单元内的居民需求相匹配。从MAUP效应来看，与行政划分下的次线性模式不同，栅格划分下的POI空间分布标度律呈现线性模式，可见标度律受到尺度效应和分区效应的共同影响。这可以认为行政划分下的标度律更能反映城市内部区划之间的发展差异，而考虑城市功能区并非只服务单一区域，因此栅格划分下的标度律更能展现城市内部功能区与人口规模的缩放规律。另一方面，栅格划分下标度因子随带宽变化的波动较小，表明栅格划分尺度对标度律的影响相对较小。但标度因子之间依然存在差异，例如带宽为16 km时的标度律更趋近于超线性模式（β=1.0919），可见其依然受到MAUP效应的影响。

2.2.2 栅格划分下不同类别POI空间分布标度律

以栅格为单元，探讨不同类别城市功能区空间分布标度律（表3）。结果显示，不同带宽下不同类别POI空间分布标度律与整体POI空间分布的变化趋势相一致，但具体呈现不同的标度关系。从拟合优度来看，不同类别POI空间分布标度律在1 km带宽下均呈现较小的拟合优度（R2<0.6），表明在较小的空间尺度下，以栅格为单元的城市功能区与人口规模之间并不存在缩放关系。这源于各类城市功能区的最小服务范围仍大于栅格面积，相应此时的栅格不足以作为反映城市内部缩放规律的基本单元。而随带宽增大，不同类别POI空间分布标度律的拟合优度趋于增大，并且多数在20 km带宽下达到最优。不同于行政单元，以栅格为单元的不同类别POI空间分布标度律依然成立，表明以栅格为单元能够反映不同城市功能区在上海城市内部的缩放规律。同时，不同类别POI之间同样存在差异，多数类别POI空间分布标度律拟合优度能够达到最大（R2>0.9），但居住类POI空间分布标度律拟合优度相对较小（R2=0.8479）。这表明相较其他城市功能区，居住功能区位与人口规模之间的联系更为复杂。
表3 栅格划分下不同类别POI空间分布标度律

Tab.3 Scaling law for the spatial distribution of different categories of POI under raster partitioning

拟合参数 带宽 餐饮 购物 居住 工作 教育 交通
R² 1 km 0.4465 0.5546 0.4502 0.3603 0.4352 0.5745
5 km 0.8048 0.8169 0.7884 0.8074 0.7935 0.8332
10 km 0.8902 0.8917 0.7988 0.9356 0.8556 0.8994
15 km 0.9243 0.9263 0.8215 0.9388 0.9063 0.9464
20 km 0.9449 0.9173 0.8479 0.9505 0.9114 0.9385
β 1 km 0.7801 0.9073 0.5937 0.5553 0.5938 0.6032
5 km 1.1740 1.1551 1.1264 1.0162 1.0249 0.8845
10 km 1.1252 1.0738 1.2266 1.0529 1.0340 0.9074
15 km 1.0863 1.1030 1.1855 1.0367 0.9676 0.8728
20 km 1.1192 1.1315 1.2501 1.0330 0.9602 0.9113
从标度因子来看，不同类别POI空间分布在1 km带宽下都不存在标度律，而随带宽增大，标度因子的变化较小，表明在相对较大的带宽之下，不同类别POI空间分布都呈现相对稳定的缩放规律。这意味着在较大带宽条件下，栅格划分尺度对不同类别POI空间分布标度律的影响相对较小。此外，不同类别POI空间分布标度律呈现不同的标度关系。具体地，餐饮类POI空间分布为超线性模式（β>1.1），表明餐饮区具有明显的集聚效应；购物类POI空间分布同样为超线性模式（β>1.1），集聚特征明显，可见上海餐饮、购物等消费功能完善，并且能级普遍较高，具有超出区域人口的广大服务覆盖范围；居住类POI空间分布为超线性模式（β>1.1），表明居住区同样显著集聚，呈现超出人口规模需求的增长态势；工作类POI空间分布为线性模式（β≈1.0），表明各分区之间的工作岗位与人口规模之间相协调；教育类POI空间分布为线性模式（β≈1.0），表明工作、教育区的分布相对合理，能够满足居民的生活和发展需要；交通类POI空间分布则接近次线性模式（β<0.9），表明交通区作为基础设施表现出规模经济，能够服务大规模出行人群。

2.3 最佳单元划分下的POI空间分布效能

基于上述结果，以拟合优度趋于最佳的栅格单元为例，计算上海整体POI空间分布的效能指数（UPI）。如前所述，当带宽达到3 km时，标度律拟合优度趋于优化（R2>0.9），同时栅格尺度仍较小，更能反映城市内部细节；作为对照，当带宽为20 km时，标度律拟合优度通常达到最佳，并且更能反映城市空间整体特征。因此，本文选取3 km带宽和20 km带宽的栅格单元，展现上海城市功能区空间分布的效能及其分异规律（图5）。结果显示，上海POI空间分布的整体效能较高，包括主城区在内的大部分单元普遍优于预期。从3 km带宽的栅格单元来看，上海大部分区域的POI空间分布效能指数大于0（图5a）。可见多数单元内的城市功能区效能优于预期，呈现较为优越的城市功能结构。然而，长宁区、徐汇区等主城区内部存在部分单元的POI空间分布效能劣于预期。这表明在上海城市中心依然存在城市功能区的集聚弱于人口集聚的区域。此外，POI空间分布效能劣于预期的单元主要集中于南部的金山区、奉贤区和崇明区。这较大程度源于城市外围人口的减少，相应多元的城市功能趋于弱化。因此城市外围更倾向保留有限的城市功能区，从而满足该区域居民的基本需求，以实现经济效益最大化。从20 km带宽的栅格单元来看，其分布格局与3 km带宽的整体一致，并且相同预期的单元之间具有显著连续性，呈现中心区域优于外围的整体格局（图5b）。这表明在更大空间尺度下，上海城市功能区空间分布效能呈现更明显的分异规律。
图5 带宽3 km和20 km下POI空间分布的效能指数

Fig.5 UPI of the spatial distribution POIs with bandwidths of 3 km and 20 km

进一步借助20 km带宽的栅格单元计算上海不同类别POI空间分布的效能指数（图6）。结果显示，上海不同类别POI空间分布的效能存在差异，表明特定的城市功能区在城市空间中的集聚具有倾向性。具体而言，餐饮类POI空间分布的效能呈现相对不规则分布，并且在南部区域的单元多数优于预期，而在中心区域周边的单元更多劣于预期。这表明在人口规模的决定性作用之外，餐饮区与城市内部空间仍具有复杂的互动和联系。购物类POI空间分布的效能更为规则，呈现中心区域的单元劣于预期，外围区域的单元优于预期的空间格局。这较大程度源于购物区在中心区域的集聚通常具有较高能级，相应能够辐射更大范围的同时，数量需求也相对更少；而对城市外围区域而言，上海整体优越的购物消费环境使其超出所在单元的预期需求。居住类POI空间分布的效能同样规则，呈现多数区域的单元优于预期，仅崇明岛及城市南部少数区域的单元劣于预期。这表明上海具有相对优势的居住功能，城市内部能够容纳庞大的人口规模。工作类POI空间分布的效能呈现城市中心区域、浦东新区以及崇明岛等区域的单元优于预期，而城市南部和西北部区域的单元劣于预期。这表明上海城市内部的工作区与人口之间存在一定的空间不适配。教育类POI空间分布的效能与居住区类似，呈现多数区域的单元优于预期，城市周边区域的少数单元劣于预期。这表明作为城市配套服务的教育功能相对完善。交通类POI空间分布的效能相对复杂，呈现城市中心和部分邻近区域的单元，以及部分城市外围区域的单元优于预期，环城市中心区域的多数单元劣于预期。这反映上海交通站点在城市空间中联结城市核心与边缘，呈现出相对灵活的交通布局。
图6 带宽20 km下不同类别POI空间分布的效能指数

Fig.6 UPI of the spatial distribution of different categories of POI with bandwidths of 20 km

3 MAUP效应下的城市内部标度律

总结上述结果，回应前文提及的实现目标。首先，从敏感性检验来看，城市内部标度律受到MAUP效应的影响，在不同空间尺度下呈现不同的标度律。具体而言，从行政划分来看，仅以市辖区为单元的整体拟合优度相对显著，同时不同类别的城市功能区较少呈现标度律，即行政区划单元之间呈现更为复杂的空间联系，不同类别的城市功能区空间分布并非随人口规模简单缩放。这源于城市内部单元因人类活动表现出相互独立性，但同时是相互联结的社会网络[12,22]。从栅格划分来看，MAUP效应的影响同样显著，并且拟合优度随带宽增大而趋于增大。这表明城市内部标度律也遵循线性回归模型的拟合规律[38]，并且在相对较大的空间尺度上，城市功能区空间分布才展现出缩放规律，也即能够实现城市功能运行的基本单元大小存在门槛。此外，比较行政划分和栅格划分单元，后者的城市内部标度律的结果相对更为合理。这表明尽管行政划分单元更契合城市内部的现实特性，栅格划分更能客观呈现城市功能区空间分布的一般规律。
其次，从标度律来看，不同划分单元下的城市功能区呈现不同的标度律。一方面，行政划分单元下的城市功能区空间分布标度律呈现次线性模式，而栅格单元划分下则呈现线性模式。这表明行政划分下的城市功能区空间分布更具规模经济，这与行政区划提高城市功能区利用率的目标相一致[39-40]。相比之下，栅格划分下的城市功能区空间分布的标度律则更能反映城市内部功能区与居民需求的同质性。因为居民行为活动并不局限于行政单元内部[41]，相应具有连续边界的栅格单元更能反映居民行为活动特性。另一方面，不同类别的城市功能区在行政划分下较少呈现标度律，而在栅格划分下呈现多种标度律模式。这意味着城市内部行政区划之间并非简单的缩放关系，而是相互差别的单元，不同单元在城市功能上存在侧重[23]。与之相对，栅格单元下的结果表明城市内部的缩放规律客观存在，也即不同城市功能区与人口规模之间遵循特定规律。可见比较其他城市内部要素[10]，城市功能区与城市空间格局的联系更为密切，相应受到分区效应的影响显著。不仅如此，不同带宽的栅格单元下的城市标度律呈现相近结果，这意味着城市内部相同形态的单元在不同空间尺度下也表现出缩放特性，体现城市系统普遍的分形特性[42]。
最后，从要素效能来看，城市功能区的效能反映城市内部功能结构差异。其中，不同空间尺度下城市功能区的效能整体相近，但显然在较小空间尺度下表现出更多细节，而在较大空间尺度下呈现更为直观的空间规律，这与尺度效应相契合[16-17]。此外，相较城市要素人均指标[8,37]或城市功能区的空间分布[23]，要素效能指数消除城市规模的影响，相应对城市功能区空间分布的评价更多展现城市各区域功能的相对完善程度。以上海为例，城市功能区效能在小尺度下的空间分布表明，城市中心的功能区并非完全优于预期。不仅如此，不同城市功能区的效能同样存在差异，反映城市整体空间结构的复杂特性。一方面，尽管当前城市功能区趋于复合，但依然存在明显的分区特性[26]；另一方面，城市本身存在专门化倾向[43]，其对不同城市功能的侧重同样影响着城市功能区的效能。
综上，城市内部标度律受到MAUP效应的影响，城市功能区空间分布与人口规模之间的缩放关系因划分单元而异。相较行政单元，栅格单元更能反映城市功能区空间分布的标度律。在栅格单元下，达到门槛带宽时城市功能区空间分布才呈现标度律，并且不同带宽下的城市标度律相近。此外，不同城市功能区空间分布呈现不同的标度律，相应效能也呈现不同空间分布格局。

4 结论与讨论

本文基于行政区划与栅格等不同类型的划分单元，借助上海100 m精度人口栅格数据集以及POI数据，分析了上海城市功能区与人口规模之间的缩放关系。主要结论如下：①从MAUP效应来看，上海城市功能区空间分布标度律受到尺度效应和分区效应的影响，并且栅格单元下的城市功能区空间分布标度律相较行政区划单元更为显著。同时，栅格单元下的标度律拟合优度随带宽增大而趋于优化，并且在3 km带宽后普遍较优。②从标度律来看，行政区划下的整体城市功能区空间分布标度律呈现次线性模式，而栅格单元下的标度律则呈现线性模式。此外，不同城市功能区空间分布存在差异，其中餐饮、购物、居住区呈现超线性模式，工作、教育区呈现线性模式，交通区呈现次线性模式。③从效能指数来看，上海城市功能区的整体效能较高，包括主城区在内的大部分区域优于预期。同样地，不同城市功能区的效能存在差异，反映各城市功能区在城市内部的客观表现。
基于上述结论并结合现实条件，进一步讨论上海城市功能区空间分布的表现。首先，MAUP效应作用于规则单元，呈现出不同拟合优度下的近似标度律。这表明城市内部空间遵循自组织规律，具有自相似的分形特征[42]，但不同尺度划分下的单元仍具有不同的空间内涵。上海城市功能区空间分布经历规划引导与需求响应相结合的特定组织形式，已具备多层次和多中心的空间格局，这与当前“主城区—新城—新市镇—乡村”的空间体系建设方向相一致。其次，标度律展现城市空间组织的客观规律，反映城市内部功能的宏观配置。已有研究将城市标度律的形成机制归因于城市内部的空间不平等[12]以及空间单元之间的互动联系[4]。这意味着不同城市功能区配置的空间分异，及其之间广泛的空间联系共同促成当前的标度模式。上海城市功能区遵循该机制，并由此呈现城市功能区与人口规模之间的差异性增长。例如，上海城市内部具有显著的职住分离现象，其较大程度源于就业机会与住房成本的空间分异，以及完善的公共服务设施和交通可达性。最后，效能指数相对客观地评价特定空间单元内的功能相比预期的效用。对特定单元而言，城市功能区在单元内的集聚程度越高，内部居民对城市功能区的可接近性也越大，相应正向效能也更为显著；然而对城市整体而言，特定单元内显著的正向效能同样暗示城市内部的空间不平等，并由此导致城市功能效率的降低。因此，尽管上海城市功能区的效能整体较高，但城市功能与人口规模之间的错位依然存在，尤其表现为中心城区与郊区之间的差距，以及不同城市功能区之间的空间分布不均。
本文印证城市内部同样存在标度律，并且城市内部标度律受到MAUP效应的影响。这得益于城市精细化大数据的获取和新城市科学理论方法的支撑。然而，本研究依然存在不足之处。首先，本文仅以上海为例展开讨论，而不同空间形态、人口规模、发展阶段的城市是否遵循相同的标度律，以及标度律伴随空间尺度变化的变化是否具有相同规律，这值得更充分地试验。其次，本文着重探讨城市内部功能区空间分布标度律，尚未涉及城市间联系对城市内部标度律的影响。当前部分城市功能表现出全球性的服务范围，跨尺度分析城市内部标度律有助于深入城市功能的探讨。最后，城市功能区具有不同类型、等级和规模的划分，相应不同城市功能区与人口规模之间的标度关系仍存在差异，这有待后续借助多平台和渠道的POI数据加以分析。

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